Math'φsics

Menu
  • Acceuil
  • Maths
  • Physique
    • Maths
    • Physique
  • Formule des probabilités composées - Conditionnements successifs

    Formulaire de report

    Formule

    Formule des probabilités composées :
    Si \(P(A)\neq0\), alors $${{P(A\cap B)}}={{P(A)P_A(B)}}$$

    (Intersection, Probabilité conditionnelle)

    Formule de probabilités composées :
    Si \(P(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n)\neq0\), alors : $${{P\left({\bigcap^n_{i=1}A_i}\right) }}={{P(A_1)P_{A_1}(A_2)\ldots P_{A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_{n-1} }(A_n) }}$$

    Montrer que si \({\Bbb P}(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n)\neq0\), alors : $${{P\left({\bigcap^n_{i=1}A_i}\right) }}={{P(A_1)P_{A_1}(A_2)\ldots P_{A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_{n-1} }(A_n) }}$$

    Développer \(\to\) tout s'annule sauf ce que l'on cherche
    $$\begin{align}{{P(A_1)P_{A_1}(A_2)\ldots P_{A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_{n-1} }(A_n) }}&=\frac{P\left(\bigcap^n_{i=1}A_i\right)}{\cancel{P(\bigcap^{n-1}_{i=1}A_i)}}\times\ldots\times\frac{\cancel{P(A_2\cap A_1)}}{\cancel{P(A_1)}}\cancel{P(A_1)}\\ &=P\left(\bigcap^n_{i=1}A_i\right)\end{align}$$
    De plus les \(P(\bigcap^j_{i=1}A_j)\) ne sont pas nuls car il y a une suite décroissante d'événements

    (Probabilité (Suite décroissante d'événements))


  • Rétroliens :
    • Loi de probabilité
    • Probabilité conditionnelle